设n维向量α1，α2……αs的秩为r，则下列命题正确的是

admin2019-06-29 53

问题设n维向量α₁，α₂……α_s的秩为r，则下列命题正确的是

选项 A、α₁，α₂……α_s中任何r一1个向量必线性无关．
B、α₁，α₂……α_s中任何r个向量必线性无关．
C、如果s>n，则d，必可由α₁，α₂……α_s线性表示．
D、如果r=n，则任何n维向量必可由α₁，α₂……α_s线性表示．

答案D

解析 r(α₁，α₂……α_s)=r

α₁，α₂……α_s中一定存在r个向量线性无关，而任意r+1个向量必线性相关．当向量组的秩为r时，向量组中既可以有r一1个向量线性相关，也可以有r个向量线性相关，故A、B均错误．例如向量α₁,α₂,α₃,α₄分别为(1，0，0，0)，(0，1，0，0)，(0，0，1，0)，(3，0，0，0)，其秩为3，其中α₁，α₄线性相关，α₁,α₂,α₄也线性相关．该例说明，4维向量可以有2个向量线性相关，也可以有3个向量线性相关．但肯定有3个向量线性无关．当s>n时，表明α₁，α₂……α_s必线性相关，此时有α_i可以由α₁，…，α_i-1，α_i+1，…，α_s线性表示，但α_s不一定能由α₁，…，α_s-1线性表示．故C不正确．若r(α₁，α₂，…，α_s)=n，则对任何凡维向量β必有r(α₁，α₂，…，α_s，β)=n．故D正确．因此应选D．

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考研数学二

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