(2003年)有一平底容器，其内侧壁是由曲线χ＝φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图)，容器的底面圆的半径为2m．根据设计要求，当以3m3／min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm3／min的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体

admin2016-05-30 122

问题 (2003年)有一平底容器，其内侧壁是由曲线χ＝φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图)，容器的底面圆的半径为2m．根据设计要求，当以3m³／min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm³／min的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体)
(1)根据t时刻液面的面积，写出t与φ(y)之间的关系式；
(2)求曲线χ＝φ(y)的方程．

选项

答案(1)设t时刻液面高度为y，则由题设知此时液面面积为 πφ²(y)＝4π＋πt 从而t＝φ²(y)－4 (2)液面高度为y时，液体的体积为 π∫₀^yφ²(u)du＝3t＝3φ²(y)－12 上式两边对y求导得 πφ²(y)＝6φ(y)φ′(y) 解此方程得φ(y)＝C[*]y 由φ(0)＝2知C＝2．故所求曲线方程为χ＝2[*]y

解析

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考研数学二

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考研数学二

求微分方程y”+2y’+2y=2e-xcos2的通解．

设f(x)在(-∞，+∞)内有定义，且对任意x∈(-∞，+∞)，y∈(-∞，+∞)，满足f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，f’(0)=a≠0．证明：对任意x∈(-∞，+∞)，f’(x)存在，并求f(x)．

计算二次积分I=∫-∞+∞dy∫-∞+∞min{x，y}dxdy．

计算曲线积分I=∮Lydx+zdy+zdz，其中L是球面x2+y2+z2=R2与平面x+z=R的交线，方向由(R，0，0)出发，先经过x＞0，y＞0部分，再经过x＞0，y＜0部分回到出发点．

微分方程y′-xe-y+1/x=0的通解为________.

证明：∫0πxasinxdx·∫0π/2a-cosxdx≥π3/4，其中a＞0为常数.

求下列函数的极限.

(1987年)求由曲线y＝1＋sinχ与直线y＝0，χ＝0，χ＝π围成的曲边梯形绕Oχ轴旋转而成旋转体体积V．

(1987年)设I＝tf(tχ)dχ，其中f(χ)连续，S＞0，t＞0，则I的值【】

(1987年)求微分方程χ＝χ－y满足条件＝0的特解．

ROC曲线的评价方法属于

什么是连续冷却转变曲线图?

患者，男性，31岁。精神分裂症发作，经药物治疗后症状缓解，自知力部分恢复，家属询问继续服药时间是

图示结构的载荷与尺寸均已知。B处约束的全部约束力为：

通常我们把工程项目建设划分为4个阶段，请选出不是这4个阶段的一项()。

施工过程中，监理单位见证取样的试验费用应由(　　)支付。

劳务派遣单位应与劳动者签订2年以上的固定期限劳动合同。()

Whomisthemanprobablycomplainingto?

Thequestionis______difficultthatnooneintheclassisabletogivetheanswer.

Agreenandyellowparrot,whichhunginacageoutsidethedoor,keptrepeatingoverandover:"Allezvous-en!Allezvous-e

考研数学二

求微分方程y”+2y’+2y=2e-xcos2的通解．

设f(x)在(-∞，+∞)内有定义，且对任意x∈(-∞，+∞)，y∈(-∞，+∞)，满足f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，f’(0)=a≠0．证明：对任意x∈(-∞，+∞)，f’(x)存在，并求f(x)．

计算二次积分I=∫-∞+∞dy∫-∞+∞min{x，y}dxdy．

计算曲线积分I=∮Lydx+zdy+zdz，其中L是球面x2+y2+z2=R2与平面x+z=R的交线，方向由(R，0，0)出发，先经过x＞0，y＞0部分，再经过x＞0，y＜0部分回到出发点．

微分方程y′-xe-y+1/x=0的通解为________.

证明：∫0πxasinxdx·∫0π/2a-cosxdx≥π3/4，其中a＞0为常数.

求下列函数的极限.

(1987年)求由曲线y＝1＋sinχ与直线y＝0，χ＝0，χ＝π围成的曲边梯形绕Oχ轴旋转而成旋转体体积V．

(1987年)设I＝tf(tχ)dχ，其中f(χ)连续，S＞0，t＞0，则I的值【】

(1987年)求微分方程χ＝χ－y满足条件＝0的特解．

ROC曲线的评价方法属于

什么是连续冷却转变曲线图?

患者，男性，31岁。精神分裂症发作，经药物治疗后症状缓解，自知力部分恢复，家属询问继续服药时间是

图示结构的载荷与尺寸均已知。B处约束的全部约束力为：

通常我们把工程项目建设划分为4个阶段，请选出不是这4个阶段的一项()。

施工过程中，监理单位见证取样的试验费用应由( )支付。

劳务派遣单位应与劳动者签订2年以上的固定期限劳动合同。()

Whomisthemanprobablycomplainingto?

Thequestionis______difficultthatnooneintheclassisabletogivetheanswer.

Agreenandyellowparrot,whichhunginacageoutsidethedoor,keptrepeatingoverandover:"Allezvous-en!Allezvous-e

施工过程中，监理单位见证取样的试验费用应由(　　)支付。