设函数f(x)连续且恒大于零，其中Ω(t)={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤t2}，D(t)={(x，y)｜x2+y2≤t2}．证明：当t＞0时，F(t)＞G(t)．

admin2022-07-21 67

问题设函数f(x)连续且恒大于零，

其中Ω(t)={(x，y，z)｜x²+y²+z²≤t²}，D(t)={(x，y)｜x²+y²≤t²}．
证明：当t＞0时，F(t)＞

G(t)．

选项

答案因为 [*] 欲证明t＞0时，F(t)＞[*]G(t)，只需证明t＞0时，有 [*] 即 ∫₀^tf(r²)r²dr∫₀^tf(r²)dr-[∫₀^tf(r²)rdr]²＞0 事实上，令 g(t)=∫₀^tf(r²)r²dr∫₀^tf(r²)dr-[∫₀^tf(r²)rdr]² 则 g’(t)=f(t²)∫₀^tf(r²)(t-r)²dr＞0 故g(t)在(0，+∞)内单调增加．因为g(t)在t=0处连续，所以当t＞0时，有g(t)＞g(0)，而g(0)=0，故当t＞0时，g(t)＞0．因此，当t＞0时，F(t)＞[*]G(t)成立．

解析

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考研数学三

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