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设向量α1，α2，…，αt是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系，向量β不是方程组AX=0的解，即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α1，…，β+αt线性无关．
设向量α1，α2，…，αt是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系，向量β不是方程组AX=0的解，即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α1，…，β+αt线性无关．
admin
2018-07-26
102
问题
设向量α
1
，α
2
，…，α
t
是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系，向量β不是方程组AX=0的解，即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α
1
，…，β+α
t
线性无关．
选项
答案
设有一组数k
0
，k
1
，…，k
t
．使得 k
0
β+k
1
(β+α
1
)+…+k
t
(β+α
t
)=0 即(k
0
+k
1
+…+k
t
)β+k
1
α
1
+…+k
t
α
t
=0 (*) 用矩阵A左乘(*)式两端并注意Aα
i
=0(i=1，…，t)，得 (k
0
+k
1
+…+k
t
)Aβ=0 因为Aβ≠0，所以有 k
0
+k
1
+…+k
t
=0 (**) 代入(*)式，得 k
1
α
1
+…+k
t
α
t
=0 由于向量组α
1
，…，α
t
是方程组Ax=0的基础解系，所以 k
1
=…=k
t
=0 因而由(**)式得k
0
=0．因此，向量组β，β+α
1
，…，β+α
t
线性无关．
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/AHW4777K
0
考研数学三
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