设3阶矩阵A=(α1，α2，α3)有3个不同的特征值，且α3=α1+2α2。证明：r(A)=2；

admin2018-04-12 87

问题设3阶矩阵A=(α₁，α₂，α₃)有3个不同的特征值，且α₃=α₁+2α₂。
证明：r(A)=2；

选项

答案因为A有三个不同的特征值，所以A至多只有1个零特征值，故r(A)≥2。又因为α₃=α₁+2α₂，所以矩阵A的列向量组线性相关，故r(A)≤2。从而r(A)=2。

解析矩阵有3个不同的特征值，说明矩阵至多只有1个零特征值，从而可得r(A)≥2，再结合矩阵列向量组线性相关即可证明r(A)=2；

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