2. 考研
  3. 设3阶实对称矩阵A的秩为2，且 求A的所有特征值与特征向量；

设3阶实对称矩阵A的秩为2，且 求A的所有特征值与特征向量；

admin2016-01-11  71
问题 设3阶实对称矩阵A的秩为2，且
求A的所有特征值与特征向量；
选项
答案由题设知[*]所以，由特征值与特征向量的定义，λ1=1是A的一个特征值，对应的一个特征向量为α1=(1，0，1)T．λ2=一1是A的又一个特征值，对应的一个特征向量为α2=(1，0，一1)T，又r(A)=2，所以A的另一特征值λ3=0，设λ3对应的特征向量为α3=(x1，x2，x3)T，由题设知，α1Tα3=0，α2Tα3=0，即[*]解得基础解系为α3=(0，1，0)T． 故A的特征值为λ=1，λ=一1，λ=0．依次对应的特征向量为k1(1，0，1)T，k2(1，0，一1)T，k3(0，1，0)T，其中k1，k2，k3均是不为0的任意常数．
解析 本题考查抽象实对称对角化的逆问题．所涉及的知识点是矩阵A不可逆是A的特征值；实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量必正交．
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考研数学二

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