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  3. 已知A是n阶矩阵，α1，α2，…，αs是n维线性无关向量组，若Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．证明：A不可逆．

已知A是n阶矩阵，α1，α2，…，αs是n维线性无关向量组，若Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．证明：A不可逆．

admin2019-01-05  77
问题 已知A是n阶矩阵，α1，α2，…，αs是n维线性无关向量组，若Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．证明：A不可逆．
选项
答案因Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关，故存在不全为零的数k1，k2，…，ks，使得 k1Aα1+k2Aα2+…+ksAαs=0， 即 A(k1α1+k2α2+…+ksαs)=Aξ=0． 其中ξ=k1α1+k2α2+…+ksαs．因已知α1，α2，…，αs线性无关，故对任意不全为零的k1，k2，…，ks，有 ξ=k1α1+k2α2+…+ksαs≠0， 而 Aξ=0． 说明线性方程组AX=0有非零解，从而|A|=0，A是不可逆矩阵．
解析
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考研数学三

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