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  3. 设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则线性方程组(AB)x=0( )．

设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则线性方程组(AB)x=0( )．

admin2013-08-30  52
问题 设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则线性方程组(AB)x=0(    )．
选项 A、当n＞m时仅有零解
B、当n＞m时必有非零解
C、当m＞n时仅有零解
D、当m＞n时必有非零解
答案D
解析 由题设，AB是m×m矩阵，则x为m维列向量．
  由已知，r(A)≤n且r(A)≤m，r(B)≤m，且r(B)≤n，
  而r(AB)≤min(r(A)，r(B))，因此r(AB)≤m，且r(AB)≤n．
  当m＞n时，r(AB)≤n＜m，因此(AB)x=0必有非零解，
  即(D)成立，同理可排除(A)、(B)、(C)，所以选(D)．
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考研数学一

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