设a1，a2，…，an—1是n个实数，方阵 (1)若λ是A的特征值，证明：ξ=[1，λ，λ2，…，λn—1]T是A的对应于特征值λ的特征向量． (2)若A有n个互异的特征值λ1，λ2，…，λn，求可逆阵P，使P—1AP—A．

admin2020-03-10 115

问题设a₁，a₂，…，a_n—1是n个实数，方阵

(1)若λ是A的特征值，证明：ξ=[1，λ，λ²，…，λ^n—1]^T是A的对应于特征值λ的特征向量．
(2)若A有n个互异的特征值λ₁，λ₂，…，λ_n，求可逆阵P，使P^—1AP—A．

选项

答案(1)λ是A的特征值，则λ应满足｜λE一A｜=0，即｜λE一A｜=0 [*] 将第2列乘λ，第3列乘λ²，…，第n列乘λ^n—1，加到第1列，再按第1列展开，得 [*] 得证ξ=[1，λ，λ²，…，λ^n—1]^T是A的对应于λ的特征向量． (2)因λ₁，λ₂，…，λ_n互异，故特征向量ξ₁，ξ₂，…，ξ_n线性无关，取可逆阵P=[ξ₁，ξ₂，…，ξ_n]，得 P^—1AP=[*]．

解析

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考研数学三

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设a1，a2，…，an—1是n个实数，方阵 (1)若λ是A的特征值，证明：ξ=[1，λ，λ2，…，λn—1]T是A的对应于特征值λ的特征向量． (2)若A有n个互异的特征值λ1，λ2，…，λn，求可逆阵P，使P—1AP—A．

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