设A，B为n阶矩阵，记r(X)为矩阵X的秩，(XY)表示分块矩阵，则( )

admin2021-01-25 74

问题设A，B为n阶矩阵，记r(X)为矩阵X的秩，(XY)表示分块矩阵，则( )

选项 A、r(A AB)=r(A)．
B、r(A BA)=r(A)．
C、r(A B)=max{r(A)，r(B)}．
D、r(A B)≤r(A^T B^T)．．

答案A

解析 1 由于矩阵AB的列向量可以由矩阵A的列向量组线性表出，所以A的列向量组的最大线性无关组是矩阵(A AB)的列向量组的最大线性无关组，而矩阵的秩也等于它的最大线性无关列向量组所含向量的个数，因此有r(A AB)=r(A)，故选项A是正确的．
2 如果取2阶矩阵

则r(A BA)=2，r(A)=1，故选项B不对；
如果取2阶矩阵

则r(A B)=2，max{r(A)，r(B)}=1，故选项C不对；
如果取2阶矩阵

则r(A B)=1，r(A^T B^T)=2，故选项D不对；
于是只有选项A是正确的．

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考研数学三

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