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  3. [2008年] 设则在实数域上与A合同的矩阵为( )．

[2008年] 设则在实数域上与A合同的矩阵为( )．

admin2019-04-15  98
问题 [2008年]  设则在实数域上与A合同的矩阵为(    )．
            
选项 A、 
B、 
C、 
D、 
答案D
解析 解一  令由
            
知，A的特征值λ1=3，λ2=－1，即A的正、负惯性指数都为1，于是|A|=λ1λ2＜0，但|A1|＞0，|A2|0，|A3|＞0，可见(A)、(B)、(C)中矩阵的正、负惯性指数与A的都不同，因而A1，A2，A3与A都不合同．仅(D)入选．
    解二  因故A与A4的特征值相同且其重数也相同，故A与A4相似．又A与A4为同阶实对称矩阵，由命题2．6．4．2知，A与A4必合同．仅(D)入选．
    解三  由两个矩阵A，B合同的定义知，存在可逆矩阵C，使B=CTAC，则
                  |B|=|A||CT||C|=|A||C|2，
因|C|2>0，故A与B合同必有|A|与|B|同号．由解一知，
                     |A|＜0，  |A1|＞0，  |A2|＞0，  |A3|＞0，
而|A4|＜0，故|A|与|A4|同号，由命题2．6．4．4(2)知，A与A4合同，仅(D)入选．
    解四  用合同变换判别之．因
            
由命题2．6．4．3知，A与A4合同，且有PTAP=A4，其中事实上，有
         
     注：命题2．6．4．2  设A，B为实对称矩阵，若A，B相似，则A，B合同，反之未必成立．若A，B是一般n阶矩阵(不一定是实对称)，则下述结论成立．
         命题2．6．4．3  A与B合同的充要条件是A经过有限次相同的初等行变换和初等列变换得到B．
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考研数学三

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