(1998年试题，五)利用代换y’’cosx一2y’sinx+3ycosx=ex化简，并求出原方程的通解

admin2019-04-17 71

问题 (1998年试题，五)利用代换

y^’’cosx一2y^’sinx+3ycosx=e^x化简，并求出原方程的通解

选项

答案题设所给方程为变系数方程，可由代换[*]将其化为关于u的二阶微分方程再求解，应先由[*]求得y^’，y^’’与u^’，u^’’的关系如下，将y=usecx两边对x求导，得y^’=u^’8ecx+secx.tanx，(1)再由(1)式两边对x求导，得y^’’=u^’’secx+2u^’se^’cx.tanx+usecx.tan²x+usec³x(2)将式(1)，式(2)代入原方程，得u^’’+4u=e^x，该方程是关于u的二阶常系数线性非齐次方程，先求其相应的齐次方程的通解，由特征方程λ²+4=0求得特征值为λ₁=2i，λ₂=一2i，从而齐次方程通解为y=C₁cos2x+C₂sin2x，设方程特解为y^*=Ae^x，代回方程u^’’+4u=e^x，得[*]因此[*]，因此非齐次方程通解为[*]其中C₁，C₂为任意常数．由代换[*]原方程通解为[*]

解析本题在化简原方程时，也可由代换u=ycosx两边对x求导，得u^’=y^’cosx—ysinx，(3)再由式(3)两边对x求导，得u^’’=y^’’cosx一2y^’sinx—ycosx(4)式(3)，式(4)与式(1)，式(2)是等价的，代入原方程都可得出同样的方程u^’’+4u=e^x

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考研数学二

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(1998年试题，五)利用代换y’’cosx一2y’sinx+3ycosx=ex化简，并求出原方程的通解

考研数学二

已知齐次线性方程组=有非零解，且矩阵A=是正定矩阵．(1)求a的值；(2)求当XTX=2时，XTAX的最大值，其中X=(x1，x2，x3)T∈R3．

设u=，其中f(s，t)二阶连续可偏导，求du及

确定常数a，使向量组α1=(1，1，a)T，α2=(1，a，1)T，α3=(a，1，1)T可由向量组β1=(1，1，a)T，β2=(一2，a，4)T，β3=(一2，a，a)T线性表示，但向量组β1，β2，β3不能由向量组α1,α2,α3线性表示。

证明：r(A+B)≤r(A)+r(B)．

已知齐次线性方程组其中≠0，试讨论a1，a2，…，an和b满足何种关系时．(1)方程组仅有零解；(2)方程组有非零解，在有非零解时，求此方程组的一个基础解系．

曲线(x－1)3=y2上点(5，8)处的切线方程是________．

设f(χ，y)二阶连续可偏导，g(χ，y)＝f(eχy，χ2＋y2)，且f(χ，y)＝1－χ－y＋o()，证明：g(χ，y)在(0，0)处取极值，并判断是极大值还是极小值，求极值．

设函数f(x)在[0，π]上连续，且∫0πf(x)dx=∫0πf(x)cosxdx=0。试证明在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使(ξ1)=f(ξ2)=0。

求下列不定积分：(Ⅰ)∫arcsinx.arccosxdx；(Ⅱ)∫x2sin2xdx；(Ⅲ)

十二正经中，有两支别络的经脉是()

具体来说,如果城市规划规定了该宗土地为居住用途,即使从其()来看,适合用作商业用途,而且能够获得批准。

下列选项中，不属于预制取水头部的制作质量验收主控项目的是()。

某公司2008年销售收入为1亿元，销售成本为9000万元，2008年期初存货为500万元，2008年期末存货为600万元，则该公司2008年存货周转天数为()

替代效应与价格的变动方向是（）。

世界上最早的一部教育文献是()。

从四个选项选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性：()

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