设n元实二次型 f(x1，…，xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xx-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2，其中a1，…，an均为实数。试问：当a1，…，an满足何种条件时，二次型f是正定的。

admin2018-01-26 75

问题设n元实二次型
f(x₁，…，x_n)=(x₁+a₁x₂)²+(x₂+a₂x₃)²+…+(x_x-1+a_n-1x_n)²+(x_n+a_nx₁)²，
其中a₁，…，a_n均为实数。试问：当a₁，…，a_n满足何种条件时，二次型f是正定的。

选项

答案依题意知，对任意的x₁，…，x_n，均有f≥0，易知当且仅当下列齐次线性方程组只有零解时，二次型是正定的。 [*] 而当且仅当系数矩阵的行列式非零时，此齐次线性方程组只有零解，即 [*] =1+(-1)ⁿ⁺¹a₁…a_n≠0，所以，当a₁…a_n≠(-1)ⁿ时，二次型f为正定二次型。

解析

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考研数学一

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