求一条凹曲线，已知其上任意一点处的曲率其中α为该曲线在相应点处的切线的倾斜角(cosα＞0)，且该曲线在点(1，1)处的切线为水平方向．

admin2018-09-25 83

问题求一条凹曲线，已知其上任意一点处的曲率

其中α为该曲线在相应点处的切线的倾斜角(cosα＞0)，且该曲线在点(1，1)处的切线为水平方向．

选项

答案由曲率计算公式及曲线为凹知， [*] 因为α为曲线在相应点的切线的倾斜角，且cosα＞0，所以 [*] 整理得微分方程2y²y’’=[1+(y’)²]²．此为缺x的可降阶二阶方程．令 [*] 代入上述微分方程，化简为 [*] 解得y²=(p+1)+y(p²+1)C²．由于曲线在点(1，1)处切线水平，故y(1)=1，y’(1)=0．于是有 1=1+C₁，C₁=0．故得y=p²+1，即 [*] 由于曲线是凹的，y=1不是解，再将 [*] 分离变量后积分得 [*] 由y(1)=1，所以C₂=－1，得 [*] 化简得 4(y－1)=(x－1)²．

解析

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考研数学一

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