2. 考研
  3. 设f(x)在(－∞，+∞)连续，以T为周期，令F(x)=f(t)dt，求证： (Ⅰ)F(x)一定能表成：F(x)=kx+φ(x)，其中k为某常数，φ(x)是以T为周期的周期函数； (Ⅱ)f(x)dx； (Ⅲ)若又有f(x)≥0(x∈(－∞，+∞))，n为自

设f(x)在(－∞，+∞)连续，以T为周期，令F(x)=f(t)dt，求证： (Ⅰ)F(x)一定能表成：F(x)=kx+φ(x)，其中k为某常数，φ(x)是以T为周期的周期函数； (Ⅱ)f(x)dx； (Ⅲ)若又有f(x)≥0(x∈(－∞，+∞))，n为自

admin2016-10-26  92
问题 设f(x)在(－∞，+∞)连续，以T为周期，令F(x)=f(t)dt，求证：
(Ⅰ)F(x)一定能表成：F(x)=kx+φ(x)，其中k为某常数，φ(x)是以T为周期的周期函数；
(Ⅱ)f(x)dx；
(Ⅲ)若又有f(x)≥0(x∈(－∞，+∞))，n为自然数，则当nT≤x＜(n+1)T时，有
nf(x)dx．
选项
答案(Ⅰ)即确定常数k，使得φ(x)=F(x)－kx以T为周期．由于 φ(x+T)=F(x+T)－k(x+T)=[*]f(t)dt－kT =φ(x)+[*]f(t)dt－kT， 因此，取k=[*]f(t)dt，φ(x)=F(x)－kx，则φ(x)是以T为周期的周期函数．此时 F(x)=[[*]f(t)dt]x+φ(x)． (Ⅱ)不能用洛必达测．因为[*]f(x)不存在．但[*]f(t)dt可表成 [*]f(t)dt+φ(x)． φ(x)在(－∞，+∞)连续且以T为周期，于是，φ(x)在[0，T]有界，在(－∞，+∞)也有界．因此 [*]f(t)dt． (Ⅲ)因f(x)≥0，所以当nT≤x＜(n+1)T时， [*]
解析
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考研数学一

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