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考研
设f(x)≥0,f’’(x)<0,对
设f(x)≥0,f’’(x)<0,对
admin
2019-02-26
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问题
设f(x)≥0,f’’(x)<0,对
选项
答案
f(x)在t∈[a,b]上的一阶台劳公式为[*]ξ介于x与t之间. 因为f’’(s)≤0,所以f’’(ξ)≤0.于是,有f(x)≤f(t)+f’(t)(x一t). 不等式两边在[a,b]上对t积分,得 (b一a)f(x)≤∫
a
b
f(t)dt+∫
a
b
f’(t)(x—t)dt =∫
a
b
f(t)dt+(x—t)f(t)|
a
b
+∫
a
b
f(t)dt = 2∫
a
b
f(t)dt+(x一b)f(b)一(x一a)f(a). 所以, 2∫
a
b
f(t)dt≥(b一a)f(x)+(b一x)f(b)+(x一a)f(a). 又f(x)≥0,f(a)≥0,f(b)≥0,x-a>0,b-x>0.所以,2∫
a
b
f(t)dt≥(b-a)f(x),即[*]
解析
因f(x)二阶可导,可由台劳公式写出f(x)的表达式,并进行放缩,再利用定积分的性质证明.
已知f(x)具有二阶或二阶以上导数,且已知最高阶导数的符号和上界(或下界)的不等式证明问题,一般可先写出f(x)的台劳公式,再进行放缩.
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考研数学一
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