已知A，B为3阶矩阵，其中A可逆，满足2A-1B=B-4E。 (Ⅰ)证明A-2E可逆； (Ⅱ)如果B=，求矩阵A。

admin2018-01-26 45

问题已知A，B为3阶矩阵，其中A可逆，满足2A^-1B=B-4E。
(Ⅰ)证明A-2E可逆；
(Ⅱ)如果B=

，求矩阵A。

选项

答案(Ⅰ)由2A^-1B=B-4E，得2B=AB-4,4，从而 (A-2E)B=4A。等式两端取行列式有｜A-2E｜｜B｜=｜4A｜≠0，故｜A-2E｜≠0，因此A-2E可逆。 (Ⅱ)由2A^-1B=B-4E，得 A(B-4E)=2B。因此有(B^T-4E)A^T=2B^T，用初等变换法求解此矩阵方程 (B^T-4E:2B^T) [*] 于是 A^T=[*] 那么，A=[*]

解析

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