f(x)在[－1，1]上三阶连续可导，且f(一1)＝0，f(1)＝1，f’(0)＝0．证明：存在ξ∈(一1，1)，使得f’’’(ξ)＝3．

admin2015-07-24 43

问题 f(x)在[－1，1]上三阶连续可导，且f(一1)＝0，f(1)＝1，f’(0)＝0．证明：存在ξ∈(一1，1)，使得f’’’(ξ)＝3．

选项

答案由泰勒公式得 [*] 两式相减得f’’’(ξ₁)＋f’’’(ξ₂)＝6．因为f(x)在[一1，1]上三阶连续可导，所以f’’’(x)在[ξ₁，ξ₂]上连续，由连续函数最值定理，f’’’(x)在[ξ₁，ξ₂]上取到最小值m和最大值M，故2m≤f’’’(ξ₁)＋f’’’(ξ₂)≤2M，即m≤3≤M．由闭区间上连续函数介值定理，存在ξ∈[ξ₁，ξ₂][*](一1，1)，使得f’’’(ξ)＝3．

解析

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考研数学一

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设f(x)二阶可导，，f(1)=1，证明：存在ξ∈(0，1)，使得f"(、ξ)-f’(ξ)+1=0．
设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，证明：存在η∈(a，b)，使得ηf’(η)+f(η)=0．
已知随机变量X的概率密度为f(x)=，求(1)常数a，b的值；(2)。
确定常数a，b，c的值，使＝4．
设函数f(x)由下列表达式确定，求f(x)的连续区间和间断点，并判定间断点的类型．
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