2. 考研
  3. f(x)在[－1，1]上三阶连续可导，且f(一1)＝0，f(1)＝1，f’(0)＝0．证明：存在ξ∈(一1，1)，使得f’’’(ξ)＝3．

f(x)在[－1，1]上三阶连续可导，且f(一1)＝0，f(1)＝1，f’(0)＝0．证明：存在ξ∈(一1，1)，使得f’’’(ξ)＝3．

admin2015-07-24  63
问题 f(x)在[－1，1]上三阶连续可导，且f(一1)＝0，f(1)＝1，f’(0)＝0．证明：存在ξ∈(一1，1)，使得f’’’(ξ)＝3．
选项
答案由泰勒公式得 [*] 两式相减得f’’’(ξ1)＋f’’’(ξ2)＝6． 因为f(x)在[一1，1]上三阶连续可导，所以f’’’(x)在[ξ1，ξ2]上连续，由连续函数最值定理，f’’’(x)在[ξ1，ξ2]上取到最小值m和最大值M，故2m≤f’’’(ξ1)＋f’’’(ξ2)≤2M，即m≤3≤M． 由闭区间上连续函数介值定理，存在ξ∈[ξ1，ξ2][*](一1，1)，使得f’’’(ξ)＝3．
解析
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考研数学一

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