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  3. 已知三阶矩阵A的第一行是(a，b，c)，a，b，c不全为零，矩阵B=(k为常数)，且AB=O，求线性方程组Ax=0的通解。

已知三阶矩阵A的第一行是(a，b，c)，a，b，c不全为零，矩阵B=(k为常数)，且AB=O，求线性方程组Ax=0的通解。

admin2021-11-09  81
问题 已知三阶矩阵A的第一行是(a，b，c)，a，b，c不全为零，矩阵B=(k为常数)，且AB=O，求线性方程组Ax=0的通解。
选项
答案由AB=O知，B的每一列均是Ax=0的解，且r(A)+r(B)≤3。 若k≠9，则r(B)=2，于是r(A)≤l，显然r(A)≥1，故r(A)=1。可见此时Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3一r(A)=2，矩阵B的第一列、第三列线性无关，可作为其基础解系，故 Ax=0的通解为：x=k1(1，2，3)T+k2(3，6，k)T，k1，k2为任意常数。 若k=9，则r(B)=1，从而1≤r(A)≤2。 ①若r(A)=2，则Ax=0的通解为：x=k1(1，2，3)T，k1为任意常数。 ②若r(A)=1，则Ax=0的同解方程组为：ax1+bx2+cx3=0，不妨设a≠0，则其通解为 x=k1([*]，1，0)T+k2([*]，0，1)T，k1，k2为任意常数。
解析
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考研数学二

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