设函数f(χ)在[0，＋∞)有连续的一阶导数，在(0，＋∞)二阶可导，且f(0)＝f′(0)＝0，又当χ＞0时满足不等式 χf〞(χ)＋4ef(χ)≤2ln(1＋χ)．求证：当χ＞0时f(χ)＜χ2成立．

admin2020-03-05 49

问题设函数f(χ)在[0，＋∞)有连续的一阶导数，在(0，＋∞)二阶可导，且f(0)＝f′(0)＝0，又当χ＞0时满足不等式
χf〞(χ)＋4e^f(χ)≤2ln(1＋χ)．
求证：当χ＞0时f(χ)＜χ²成立．

选项

答案由题设知，当χ＞0时 χf〞(χ)＜χf〞(χ)＋4e^f(χ)≤2ln(1＋χ)，即f〞(χ)＜[*]＜2 其中ln(1＋χ)＜χ(χ＞0)，这是因为：记g(χ)=＝χ－ln(1＋χ)(χ≥0)，则g′(χ)＝1－[*]＞0(χ＞0)，故g(χ)在[0，＋∞)单调增加，从而g(χ)＞g(0)＝0(χ＞0)．由麦克劳林公式可得 f(χ)＝f(0)＋f′(0)χ＋[*]f〞(ξ)χ²＝[*]f〞(ξ)χ²＜χ²(χ＞0)．

解析

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考研数学一

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设函数f(χ)在[0，＋∞)有连续的一阶导数，在(0，＋∞)二阶可导，且f(0)＝f′(0)＝0，又当χ＞0时满足不等式 χf〞(χ)＋4ef(χ)≤2ln(1＋χ)．求证：当χ＞0时f(χ)＜χ2成立．

考研数学一

当A＝()时，(0，1，－1)和(1，0，2)构成齐次方程组AX＝0的基础解系．

当x→0时，3x一4sinx+sinxcosx与xn为同阶无穷小，则n=________．

连续型随机变量X的分布函数F(x)=则其中的常数a和b为()

事件A与B相互独立，P(A)=a，P(B)=b，如果事件C发生必然导致A与B同时发生，则A，B，C都不发生的概率为______．

一平面经过点M1(2，1，3)及点M2(3，4，一1)，且与平面3x—y+6z一6=0垂直，则该平面方程为_________．

设随机变量X的概率密度为f(x)=若k满足概率等式P(X≥k}=2／3，则k的取值范围是_______．

求曲线y=3一｜x2一1｜与x轴围成的封闭区域绕直线y=3旋转所得的旋转体的体积．

[2007年]设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导且存在相等的最大值．又f(A)=g(A)，f(B)=g(B)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f’’(ξ)=g’’(ξ)．

袋中有10个大小相等的球，其中6个红球4个白球，随机抽取2个，每次取1个，定义两个随机变量如下：就下列两种情况，求(X，Y)的联合分布律：第一次抽取后放回；

燕尾槽的斜面角度应选用__________测量。

已知线性方程组有解，则常数a1，a2，a3，a4满足条件_________．

对可确定作用的自然灾害，既有结构宜通过结构()评定其抗灾害能力。

对于通过非同一控制下企业合并在年度中期增加的子公司，母公司在编制合并报表时，应将该子公司合并当期期初至报告期末的收入、费用和利润纳入合并利润表中。()

试论述经济与高等教育的关系。

治安管理处罚的种类包括()。

承诺通知于到达要约人时生效。

A、 B、 C、 D、 C

Whileanti-slaverysentimenteventuallydictatedpolicyinboththeUnitedStatesandGreatBritain,thecourseofabolitiondif

Withallthetroublesthathumanityfaces,whyshouldwecareabouttheconditionoflivingnature?Homosapiensisspeciesconf

设函数f(χ)在[0，＋∞)有连续的一阶导数，在(0，＋∞)二阶可导，且f(0)＝f′(0)＝0，又当χ＞0时满足不等式 χf〞(χ)＋4ef(χ)≤2ln(1＋χ)． 求证：当χ＞0时f(χ)＜χ2成立．

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当A＝()时，(0，1，－1)和(1，0，2)构成齐次方程组AX＝0的基础解系．

当x→0时，3x一4sinx+sinxcosx与xn为同阶无穷小，则n=________．

连续型随机变量X的分布函数F(x)=则其中的常数a和b为()

事件A与B相互独立，P(A)=a，P(B)=b，如果事件C发生必然导致A与B同时发生，则A，B，C都不发生的概率为______．

一平面经过点M1(2，1，3)及点M2(3，4，一1)，且与平面3x—y+6z一6=0垂直，则该平面方程为_________．

设随机变量X的概率密度为f(x)=若k满足概率等式P(X≥k}=2／3，则k的取值范围是_______．

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[2007年]设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导且存在相等的最大值．又f(A)=g(A)，f(B)=g(B)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f’’(ξ)=g’’(ξ)．

袋中有10个大小相等的球，其中6个红球4个白球，随机抽取2个，每次取1个，定义两个随机变量如下：就下列两种情况，求(X，Y)的联合分布律：第一次抽取后放回；

燕尾槽的斜面角度应选用__________测量。

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对于通过非同一控制下企业合并在年度中期增加的子公司，母公司在编制合并报表时，应将该子公司合并当期期初至报告期末的收入、费用和利润纳入合并利润表中。()

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