2. 考研
  3. 设f(x)=在x=0处二阶导数存在，则常数a，b分别是

设f(x)=在x=0处二阶导数存在，则常数a，b分别是

admin2020-12-10  49
问题 设f(x)=在x=0处二阶导数存在，则常数a，b分别是
选项 A、a=1，b=1
B、a=1，b=
C、a=1，b=2
D、a=2，b=1
答案B
解析 显然有
f(x)=
即f(x)在x=0处连续，先求出
f-′(0)=(x2+ax+1)′|x=0=a，
f+′(0)=(ex+bsinx2)′|x=0=(ex+2bxcosx2)|x=0=1．
要求f′(0)f+′(0)=f-′(0)即a=1．此时

    f-″(0)=(2x+1)′|x=0=2，
f+″(0)=(ex+2bxcosx2)′|x=0=(ex+2bcosx2—4bx2sinx2)|x=0
=1+2b．
要求f″(0)f-″(0)=f+″(0)即2=1+2b，b=．
因此选B．
分析2：我们考虑分段函数
f(X)=
其中f1(x)和f2(x)均在x=x0邻域k阶可导，则f(x)在分界点x=x0有k阶导数的充要条件是f1(x)和f2(x)在x=x0处有相同的k阶泰勒公式：
f1(x)=f2(x)
=a0+a1(x—x0)+a2(x—x0)2+…+ak(x—x0)k+o((x—x0)k)(x→x0)
把这一结论用于本题：取x0=0．
f1(x)=1+ax+x2
f2(x)=ex+bsinx2
=1+x+x2+o(x2)+b(x2+o(x2))
=1+x+(b+)x2+o(x2)．
因此f(x)在x=0处二阶可导
a=1，b+=1，即a=1，b=．
故应选B．
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考研数学二

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