设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足A2＝A(A称为幂等阵)．求：(1)二次型XTAX的标准形； (2)｜E＋A＋A2＋…＋An｜的值．

admin2017-12-31 109

问题设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足A²＝A(A称为幂等阵)．
求：(1)二次型X^TAX的标准形； (2)｜E＋A＋A²＋…＋Aⁿ｜的值．

选项

答案(1)因为A²＝A，所以｜A｜｜E－A｜＝0，即A的特征值为0或者1，因为A为实对称矩阵，所以A可对角化，由r(A)＝r得A的特征值为λ＝1(r重)，λ＝0 (n－r重)，则二次型X^TAX的标准形为y₁²＋y₂²＋…＋y_r²． (2)令B＝E＋A＋A²＋…＋Aⁿ，则B的特征值为λ＝n＋1(r重)，λ＝1(n－r重)，故｜E＋A＋A²＋…＋Aⁿ｜＝｜B｜＝(n＋1)^r．

解析

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考研数学三

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