设y=f(x)是区间[0，1]上的任一非负连续函数。试证存在x0∈(0，1)，使得在区间[0，x0]上以f(x0)为高的矩形面积等于在区间[x0，1]上以y=f(x)为曲边的梯形面积；

admin2017-01-13 115

问题设y=f(x)是区间[0，1]上的任一非负连续函数。
试证存在x₀∈(0，1)，使得在区间[0，x₀]上以f(x₀)为高的矩形面积等于在区间[x₀，1]上以y=f(x)为曲边的梯形面积；

选项

答案本题可转化为证明x₀f(x₀)=∫₀¹f(x)x。令φ(x)=一x∫_x¹f(t)dt，则φ(x)在闭区间[0，1]上是连续的，在开区间(0，1)上是可导的，又因为φ(0)=φ(1)=0，根据罗尔定理可知，存在x₀∈(0，1)，使得φ’(x₀)=0，即 φ’(x₀)=x₀f(x₀)一∫₀¹f(t)dt=0。也就是 x₀f(x₀)=∫₀¹f(x)dx。

解析

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