设f(x),g(x)在区间[－a,a](a＞0)上连续，g(x)为偶函数，且f(x)满足条件 f(x)+f(－x)=A（A为常数）证明：∫-aaf(x)g(x)dx=A∫0ag(x)dx

admin2022-10-08 79

问题设f(x),g(x)在区间[－a,a](a＞0)上连续，g(x)为偶函数，且f(x)满足条件
f(x)+f(－x)=A（A为常数）

证明：∫_-a^af(x)g(x)dx=A∫₀^ag(x)dx

选项

答案∫_-a^af(x)g(x)dx=∫_-a⁰f(x)g(x)dx+∫₀^af(x)g(x)dx而 ∫_-a⁰f(x)g(x)dx[*]－∫_a⁰f(－t)g(－t)dt=∫₀^af(－x)g(x)dx 于是 ∫_-a^af(x)g(x)dx=∫₀^af(－x)g(x)dx+∫₀^af(x)g(x)dx =∫₀^a[f(x)+f(－x)]g(x)dx=A∫₀^ag(x)dx

解析

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考研数学三

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设x→0时，是等价的无穷小量，试求常数a和k的值．
设y=f(x)在(－1，1)内具有二阶连续导数，且f"(x)≠0，试证：
已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x=0的某个邻域内满足关系式f(1+sinx)－3f(1-sinx)=8x+α(x)，其中α(x)是当x→0时比x高阶的无穷小量，且f(x)在x=1处可导，求曲线y=f(x)在点(6，f(6))处的
求下列函数的导数：
设f(x)在[0，+∞)上连续且单调增加，试证对任何b＞a＞0，都有下面不等式成立：
设f(x)为[0，1]上单调减少的连续函数，且f(x)＞0，试证：存在唯一的点ξ∈(0，1)，使得成立．
设y=f(x)在[0，+∞)上有连续的导数，f(x)的值域为[0，+∞)，且f’(x)＞0，f(0)=0．又x=φ(y)为y=f(x)的反函数，对于常数a＞0，b＞0，试证明：
设有微分方程y’-2y=φ(x)，其中试求在(-∞，+∞)内的连续函数y=y(x)，使之在(-∞，1)和(1，+∞)内都满足所给方程，且满足条件y(0)=0．

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