已知二次型f(x1，x2，x3)=xTAx经正交变换x=Qy化为标准形f=3y12－6y22－6yy32，其中矩阵Q的第1列是求二次型f(x1，x2，x3)的表达式・

admin2017-06-14 77

问题已知二次型f(x₁，x₂，x₃)=x^TAx经正交变换x=Qy化为标准形f=3y₁²－6y₂²－6yy₃²，其中矩阵Q的第1列是

求二次型f(x₁，x₂，x₃)的表达式・

选项

答案由题设A的三个特征值分别为λ₁=3，λ₂=λ₃=－6，且属于λ₁=3的特征向量是α₁=(1，2，2)^T．设λ₂=λ₃=－6的特征向量为x=(x₁，x₂，x₃)^T，因A是实对称矩阵，不同特征值的特征向量相互正交，有x^Tα₁=0，即 x₁+2x₂+2x₃=0．得α₂=(0，1，－1)^T，α₃=(2，0，－1)^T是属于λ₂=λ₃=－6的特征向量．先将α₂，α₃正交化，有 β₂=α₂，β₃=α₃－[*]=(4，－1，1－)^T，再将α₁，β₂，β₃单位化，可得 [*] 故所求的二次型为x^TAx=－5x₁²－2x₂²－2x₃²+4x₁x₂+4x₁x₃+8x₂x₃．

解析

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考研数学一

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已知二次型f(x1，x2，x3)=xTAx经正交变换x=Qy化为标准形f=3y12－6y22－6yy32，其中矩阵Q的第1列是求二次型f(x1，x2，x3)的表达式・

考研数学一

设α1=(2，-1，0，5)，α2=(-4，-2，3，0)，α3=(-1，0，1，k)，α4=(-1，0，2，1)，则k=________时，α1，α2，α3，α4线性相关．

设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是

已知3阶矩阵A的第一行是(a，6，c)，a，b，c不全为零，矩阵(k为常数)，且AB=0，求线性方程组Ax=0的通解．

设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=-2，α1=(1，-1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量．记B=A5-4A3+E，其中E为3阶单位矩阵．求矩阵B．

设A为m阶实对称矩阵，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n．

设f(x)，ψ(x)，ψ(x)是(－∞，+∞)内的单调增函数，证明：若ψ(x)≤f(x)≤ψ(x)，则ψ(ψ(x))≤f(f(x))≤ψ(ψ(x))

设a1，a2，…，at为AX=0的一个基础解系，β不是AX=0的解，证明：β，β+a1，β+a2，…，β+at线性无关．

如果0＜β＜α＜π/2，证明

设二维随机变量(X，Y)在区域D={(x，y)｜0≤y≤1，y≤x≤y+1}上服从均匀分布，令Z=X—Y，求X与Y的边缘概率密度函数并判断随机变量X与y的独立性；

判断下列函数的单调性：

A．红皮病B．紫癜风C．猫眼疮D．红斑狼疮E．浸淫疮

描述错误的是

下列关于下肢深静脉血栓形成的叙述，不正确的是()

毛果芸香碱(匹鲁卡品)对眼的作用表现为

溢水坝模型实验，实际流量为Q1=537m3／s。若在模型上测得的流量Qm=300L／s，则该模型长度比尺为()。

项目目标动态控制的纠偏措施不包括(　　)。

利率与收益率

B

Hewasaccused______stealingfromtheshop.

A、Itcouldhelppeopleofallagestoavoidcancer.B、Itwasmainlymeantforcancerpatients.C、Itmightappealmoretoviewers

已知二次型f(x1，x2，x3)=xTAx经正交变换x=Qy化为标准形f=3y12－6y22－6yy32，其中矩阵Q的第1列是 求二次型f(x1，x2，x3)的表达式・

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设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是

已知3阶矩阵A的第一行是(a，6，c)，a，b，c不全为零，矩阵(k为常数)，且AB=0，求线性方程组Ax=0的通解．

设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=-2，α1=(1，-1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量．记B=A5-4A3+E，其中E为3阶单位矩阵．求矩阵B．

设A为m阶实对称矩阵，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n．

设f(x)，ψ(x)，ψ(x)是(－∞，+∞)内的单调增函数，证明：若ψ(x)≤f(x)≤ψ(x)，则ψ(ψ(x))≤f(f(x))≤ψ(ψ(x))

设a1，a2，…，at为AX=0的一个基础解系，β不是AX=0的解，证明：β，β+a1，β+a2，…，β+at线性无关．

如果0＜β＜α＜π/2，证明

设二维随机变量(X，Y)在区域D={(x，y)｜0≤y≤1，y≤x≤y+1}上服从均匀分布，令Z=X—Y，求X与Y的边缘概率密度函数并判断随机变量X与y的独立性；

判断下列函数的单调性：

A．红皮病B．紫癜风C．猫眼疮D．红斑狼疮E．浸淫疮

描述错误的是

下列关于下肢深静脉血栓形成的叙述，不正确的是()

毛果芸香碱(匹鲁卡品)对眼的作用表现为

溢水坝模型实验，实际流量为Q1=537m3／s。若在模型上测得的流量Qm=300L／s，则该模型长度比尺为()。

项目目标动态控制的纠偏措施不包括( )。

利率与收益率

B

Hewasaccused______stealingfromtheshop.

A、Itcouldhelppeopleofallagestoavoidcancer.B、Itwasmainlymeantforcancerpatients.C、Itmightappealmoretoviewers

已知二次型f(x1，x2，x3)=xTAx经正交变换x=Qy化为标准形f=3y12－6y22－6yy32，其中矩阵Q的第1列是求二次型f(x1，x2，x3)的表达式・

项目目标动态控制的纠偏措施不包括(　　)。