在闭区间[a,b]上，设f(x)＞0,f’(x)＜0,f"(x)＞0,记S1=∫abf(x)dx,S2=f(b)(b－a),S3=[f(b)+f(a)](b－a),则有（）。

admin2021-07-15 76

问题在闭区间[a,b]上，设f(x)＞0,f’(x)＜0,f"(x)＞0,记S₁=∫_a^bf(x)dx,S₂=f(b)(b－a),S₃=

[f(b)+f(a)](b－a),则有（）。

选项 A、S₁＜S₂＜S₃
B、S₃＜S₁＜S₂
C、S₂＜S₃＜S₁
D、S₂＜S₁＜S₃

答案D

解析由于f’(x)＜0,可知函数f(x)在[a,b]上单调减少，由于f"(x)＞0,可知曲线y=f(X)在[a,b]上为凹，曲线的图形如图所示。

由图可知，S₁表示曲边梯形ABDC的面积，S₂表示以（b－a)为长，以f(b)为宽的长方形ABDE的面积，而S₃表示梯形ABDC的面积，从图中显而易见有S₂＜S₁＜S₃，故选D.

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