设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32-2x12-2x13-2a2x22(a＜0)通过正交变换化为标准型2y12+2y22+by32。 (Ⅰ)求常数a，b的值； (Ⅱ)求正交变换矩阵； (Ⅲ)当｜X｜-1时，求二次型

admin2021-01-28 93

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=x₁²+x₂²+x₃²-2x₁²-2x₁³-2a2x₂²(a＜0)通过正交变换化为标准型2y₁²+2y₂²+by₃²。
(Ⅰ)求常数a，b的值；
(Ⅱ)求正交变换矩阵；
(Ⅲ)当｜X｜-1时，求二次型的最大值。

选项

答案(Ⅰ)令[*]，则f(x₁，x₂，x₃)=X^TAX 因为二次型经过正交变化为2y₁²+2y₂²+by₃²，所以矩阵A的特征值为λ₁=λ₂=2，λ₃=b，由特征值的性质得[*]解得a=-1，b=-1。 (Ⅱ)当λ₁=λ₂=2时，由(2E-A)X=0得ζ₁=[*]，ζ₂=[*]；当λ₃=-1时，由(-E-A)X=0，得ζ₁=[*]。 [*] (Ⅲ)因为Q为正交矩阵，所以‖X‖=1时，‖Y‖=1，当‖Y‖=1时，二次型的最大值为2。

解析

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考研数学三

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设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32-2x12-2x13-2a2x22(a＜0)通过正交变换化为标准型2y12+2y22+by32。 (Ⅰ)求常数a，b的值； (Ⅱ)求正交变换矩阵； (Ⅲ)当｜X｜-1时，求二次型

考研数学三

以y=C1e-2x+C2ex+cosx为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为__________．

设f(χ)＝＋χ3∫01f(χ)dχ，则∫01f(χ)dχ＝_______．

设随机变量X，Y，Z相互独立，X～U[－1，3]，Y～B(10，)，Z～N(1，32)，且随机变量U＝X＋2Y－3Z＋2，则D(U)＝______．

计算其中D是由x2＋y2＝4与x2＋(y＋1)2＝1围成的区域．

设二阶连续可导，又，求f(x)．

设常系数线性微分方程y’’+ay’+2y=bex的一个特解为y=(1+x+ex)ey，则常数a，b的值分别为

当x→0时，用“o(x)”表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是

设z=f(x，y)二阶连续可偏导，且=x+1，f’x(x，0)=2x，f(0，y)=sin2y，则f(x，y)=________．

设f(x)连续，且tf(2x－t)dt＝arctanx2，f(1)＝1，求f(x)dx．

光有知识是不够的，还应当；光有是不够的，还应当行动。行动是治愈烦恼的最好办法，是现实达成的唯一途径。填入画横线部分最恰当的一项是：

超声波流量计显示的流量变化太大的原因下列说法错误的是()。

列表说明血管性痴呆与阿尔茨海默病(老年及老年前期痴呆)的鉴别要点。

葡萄胎排出后人绒毛膜促性腺激素降至正常的时间最长不超过（）

A．二度I型房室传导阻滞B．二度Ⅱ型房室传导阻滞C．完全性房室传导阻滞D．室性早搏E．窦房传导阻滞PR逐个延长，RR逐次缩短，直至QRS波脱落，周而复始

男性，44岁，发现HBsAg阳性9年，ALT时有增高。近3周来食欲下降，尿黄，明显乏力，齿龈出血，近2周尿少。查体：神清，扑翼样震颤(+)，化验：ALT176U／L，TBIL432μmol／L，PT38秒(对照13秒)，该患者应诊断为

某高层建筑的封闭避难层需设置加压送风系统，避难层的净面积为800m2，下列设计的加压送风量不符合要求的是()m3／h。

中共七届-二中全会，党制定和执行新民主主义经济建设的方针是()。

HateYourJob?Here’sHowtoReshapeIt[A]Onceuponatime,ifyouhatedyourjob,youeitherquitorbityourlip.Thesedays

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考研数学三

以y=C1e-2x+C2ex+cosx为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为__________．

设f(χ)＝＋χ3∫01f(χ)dχ，则∫01f(χ)dχ＝_______．

设随机变量X，Y，Z相互独立，X～U[－1，3]，Y～B(10，)，Z～N(1，32)，且随机变量U＝X＋2Y－3Z＋2，则D(U)＝______．

计算其中D是由x2＋y2＝4与x2＋(y＋1)2＝1围成的区域．

设二阶连续可导，又，求f(x)．

设常系数线性微分方程y’’+ay’+2y=bex的一个特解为y=(1+x+ex)ey，则常数a，b的值分别为

当x→0时，用“o(x)”表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是

设z=f(x，y)二阶连续可偏导，且=x+1，f’x(x，0)=2x，f(0，y)=sin2y，则f(x，y)=________．

设f(x)连续，且tf(2x－t)dt＝arctanx2，f(1)＝1，求f(x)dx．

光有知识是不够的，还应当________；光有________是不够的，还应当行动。行动是治愈烦恼的最好办法，是现实达成的唯一途径。填入画横线部分最恰当的一项是：

超声波流量计显示的流量变化太大的原因下列说法错误的是()。

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某高层建筑的封闭避难层需设置加压送风系统，避难层的净面积为800m2，下列设计的加压送风量不符合要求的是()m3／h。

中共七届-二中全会，党制定和执行新民主主义经济建设的方针是()。

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光有知识是不够的，还应当；光有是不够的，还应当行动。行动是治愈烦恼的最好办法，是现实达成的唯一途径。填入画横线部分最恰当的一项是：