求I=(x+y+z)2dxdydz，其中Ω：x2+y2≤1，｜z｜≤1．

admin2017-11-13 68

问题求I=

(x+y+z)²dxdydz，其中Ω：x²+y²≤1，｜z｜≤1．

选项

答案I=[*](x²+y²+z²)dxdydz+2[*](xy+xz+yz)dxdydz =[*](x²+y²+z²)dV=2[*](x²+y²+z²)dV，这里Ω对三个坐标面均对称，[*]xydV=0 (被积函数对x为奇函数，Ω关于yz平面对称；或被积函数对y为奇函数，Ω关于zx平面对称)．类似理由得[*] 最后作柱坐标变换得 [*]

解析

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考研数学一

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设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，证明：(1)存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=2ξf(ξ)．(2)存在η∈(a，b)，使得ηf’(η)+f(η)=0．
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用变量代换x=Int将方程化为y关于t的方程，并求原方程的通解．
设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)+f(ξ)g’(ξ)=0．
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