设区域Ω为球体x2+y2+z2≤2Rz的公共部分，则z2dV=( )．

admin2022-07-21 37

问题设区域Ω为球体x²+y²+z²≤2Rz的公共部分，则

z²dV=( )．

选项 A、∫₀^2πdθ∫₀^π/3sinφcos²φdφ∫₀^2Rcosφr⁴dr
B、∫₀^2πdθ∫₀^π/2sinφcos²φdφ∫₀^2Rcosφr⁴dr
C、∫₀^2πdθ∫₀^π/2sinφcosφdφ∫₀¹r⁴dr
D、∫₀^2πdθ∫₀^π/2sinφcos²φdφ∫₀^2Rcosφr²dr

答案B

解析在地球坐标系下Ω表示为
Ω={(θ，φ，r)｜0≤θ≤2π，0≤φ≤π/2，0≤r≤2Rcosφ}
所以

z²dV=∫₀^2πdθ∫₀^π/2dφ∫₀^2Rcosφr²cos²φ·r²sinφdr=∫₀^2πdθ∫₀^π/2sinφcos²φdφ∫₀^2Rcosφr⁴dr

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