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设A,B均为n阶矩阵,且E-AB可逆,则E-BA也可逆.
设A,B均为n阶矩阵,且E-AB可逆,则E-BA也可逆.
admin
2021-02-25
65
问题
设A,B均为n阶矩阵,且E-AB可逆,则E-BA也可逆.
选项
答案
本题考查逆矩阵的概念及性质,抽象矩阵求逆一般主要是AB=E,则A可逆,还可以用A的行列式不为零,则A可逆,也可以构造恒等式使AX=E,则X是A的逆. 证法1:设C为n阶矩阵,使(E-AB)C=E,则C-ABC=E,左乘n阶方阵B,右乘n阶方阵A,有 BCA-BABCA=BA, (E-BA)BCA=BA-E+E, 即 (E-BA)(E+BCA)=E, 因而E-BA可逆. 证法2:利用分块矩阵的运算. [*],两边取行列式得[*],同理 [*] 两边取行列式得 [*] 又由于 [*] 所以|E-AB|=|E-BA|,而E-AB可逆,从而|E-AB|≠0,因而|E-BA|≠0,故E-BA可逆. 证法3:作恒等式,由A-ABA=A-ABA,得 (E-AB)A=A(E-BA), 又由E-AB可逆,所以 A=(E-AB)
-1
A(E-BA). 再由 E=E-BA+BA=E-BA+B(E-AB)
-1
A(E-BA)=[E+B(E-AB)
-1
A](E-BA), 故E-BA可逆,且 (E-BA)
-1
=E+B(E-AB)
-1
A.
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/1Z84777K
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考研数学二
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