设A，B均为n阶矩阵，且E-AB可逆，则E-BA也可逆．

admin2021-02-25 64

问题设A，B均为n阶矩阵，且E-AB可逆，则E-BA也可逆．

选项

答案本题考查逆矩阵的概念及性质，抽象矩阵求逆一般主要是AB=E，则A可逆，还可以用A的行列式不为零，则A可逆，也可以构造恒等式使AX=E，则X是A的逆．证法1：设C为n阶矩阵，使(E-AB)C=E，则C-ABC=E，左乘n阶方阵B，右乘n阶方阵A，有 BCA-BABCA=BA， (E-BA)BCA=BA-E+E，即 (E-BA)(E+BCA)=E，因而E-BA可逆．证法2：利用分块矩阵的运算． [*]，两边取行列式得[*]，同理 [*] 两边取行列式得 [*] 又由于 [*] 所以｜E-AB｜=｜E-BA｜，而E-AB可逆，从而｜E-AB｜≠0，因而｜E-BA｜≠0，故E-BA可逆．证法3：作恒等式，由A-ABA=A-ABA，得 (E-AB)A=A(E-BA)，又由E-AB可逆，所以 A=(E-AB)^-1A(E-BA)．再由 E=E-BA+BA=E-BA+B(E-AB)^-1A(E-BA)=[E+B(E-AB)^-1A](E-BA)，故E-BA可逆，且 (E-BA)^-1=E+B(E-AB)^-1A．

解析

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考研数学二

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设A，B均为n阶矩阵，且E-AB可逆，则E-BA也可逆．

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设A为n阶实对称矩阵，满足A2=E，并且r(A+E)=k＜n．①求二次型xTAx的规范形．②证明B=E+A+A2+A3+A4是正定矩阵，并求｜B｜．

设f(x)连续，且=2，则下列结论正确的是()．

已知四维列向量α1，α2，α3线性无关，若向量βi(i＝1，2，3，4)是非零向量且与向α1，α2,α3均正交，则向量组β1，β2，β3，β4的秩为()．

已知向量组α1，α2，α3和β1，β2，β3，β4都是4维实向量，其中r(α1，α2，α3)＝2，r(β1，β2，β3，β4)＞1，并且每个βi与α1，α2，α3都正交．则r(β1，β2，β3，β4)＝

[2002年]已知A，B为三阶矩阵，且满足2A-1B=B一4E，其中E是三阶单位矩阵．(1)证明矩阵A一2E可逆；(2)若B=，求矩阵A．

设n元线性方程组Ax=b，其中(Ⅰ)证明行列式|A|=(n+1)an；(Ⅱ)当a为何值时，该方程组有唯一的解，并在此时求x1；(Ⅲ)当a为何值时，该方程组有无穷多解，并在此时求其通解．

设A=，正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵，若Q的第一列为(1，2，1)T，求a，Q。

设A，B为3阶方阵，且｜A｜=1，｜B｜=2，｜A-1+B｜=2，则｜A+B-1｜=__________．

下列哪一种病变能反映大叶性肺炎的本质()

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()同志指出：“我们的原则是党指挥枪，而决不允许枪指挥党。”对公安工作也是这样，绝不容许公安机关有任何削弱、摆脱、抵制或忽视党的领导的现象。

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人离开了文化，离开了文化的创造与积累，离开了文化世界的价值和意义，也就自然丧失了现实文化价值的意义，也就不可能真正实现人的本质。反之，文化若离开了人，也就成了无源之水。这句话支持了一个论点，即(　　)。

[*]

(1)新建一个名为“图书管理”的项目。(2)存项目中建一个名为“图书”的数据库。(3)将考生文件夹下的自由表books、borrows和loans添加到“图书”数据库中。(4)在项目中建立查询tscx，查询books表中“价

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