设A，B均为n阶矩阵，且E-AB可逆，则E-BA也可逆．

admin2021-02-25 63

问题设A，B均为n阶矩阵，且E-AB可逆，则E-BA也可逆．

选项

答案本题考查逆矩阵的概念及性质，抽象矩阵求逆一般主要是AB=E，则A可逆，还可以用A的行列式不为零，则A可逆，也可以构造恒等式使AX=E，则X是A的逆．证法1：设C为n阶矩阵，使(E-AB)C=E，则C-ABC=E，左乘n阶方阵B，右乘n阶方阵A，有 BCA-BABCA=BA， (E-BA)BCA=BA-E+E，即 (E-BA)(E+BCA)=E，因而E-BA可逆．证法2：利用分块矩阵的运算． [*]，两边取行列式得[*]，同理 [*] 两边取行列式得 [*] 又由于 [*] 所以｜E-AB｜=｜E-BA｜，而E-AB可逆，从而｜E-AB｜≠0，因而｜E-BA｜≠0，故E-BA可逆．证法3：作恒等式，由A-ABA=A-ABA，得 (E-AB)A=A(E-BA)，又由E-AB可逆，所以 A=(E-AB)^-1A(E-BA)．再由 E=E-BA+BA=E-BA+B(E-AB)^-1A(E-BA)=[E+B(E-AB)^-1A](E-BA)，故E-BA可逆，且 (E-BA)^-1=E+B(E-AB)^-1A．

解析

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考研数学二

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设A，B均为n阶矩阵，且E-AB可逆，则E-BA也可逆．

考研数学二

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[2010年]设A=，存在正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵，若Q的第1列为[1，2，1]T，求a，Q．

设三阶矩阵A的特征值为λ1=-1，λ2=，其对应的特征向量为α1，α2，α3，令P=(2α3，-3α1，-α2)，则P-1(A-1+2E)P=________

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