设α1，α2为三维线性无关的列向量组，β1，β2为三维列向量组且都与α1，α2正交，又(β1，β2)＝3， (Ⅰ)证明：α1，α2，β1线性无关，但β1，β2线性相关； (Ⅱ)令B＝β1β2T，求｜B＋2E｜．

admin2021-03-16 134

问题设α₁，α₂为三维线性无关的列向量组，β₁，β₂为三维列向量组且都与α₁，α₂正交，又(β₁，β₂)＝3，
(Ⅰ)证明：α₁，α₂，β₁线性无关，但β₁，β₂线性相关；
(Ⅱ)令B＝β₁β₂^T，求｜B＋2E｜．

选项

答案(Ⅰ)令k₁α₁＋k₂α₂＋k₃β₁＝0，由α₁，α₂与β₁正交及(k₁α₁＋k₂α₂＋k₃β₁，β₁)＝0得k₃(β₁，β₁)＝0，再由β₁为非零向量得(β₁，β₁)＝｜β₁｜²＞0，从而k₃＝0，于是k₁α₁＋k₂α₂＝0，再由α₁，α₂线性无关得k₁＝k₂＝0，故α₁，α₂，β₁线性无关．令A＝[*]，则r(A)＝2＜3，齐次线性方程组AX＝0含一个线性无关的解向量，由Aβ₁＝0，Aβ₂＝0得β₁，β₂为AX＝0的两个非零解，故β₁，β₁线性相关． (Ⅱ)由B²＝3B得B的特征值为0和3，因为λ₁＋λ₂＋λ₃＝tr(B)＝(β₁，β₂)＝3，所以B的特征值为0，0，3，从而B＋2E特征值为2，2，5，故｜B＋2E｜＝20．

解析

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考研数学二

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设α1，α2为三维线性无关的列向量组，β1，β2为三维列向量组且都与α1，α2正交，又(β1，β2)＝3， (Ⅰ)证明：α1，α2，β1线性无关，但β1，β2线性相关； (Ⅱ)令B＝β1β2T，求｜B＋2E｜．

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