设y=y(x)(x＞0)是微分方程2y"+y’-y=(4-6x)e-x的一个解，且求y(x),并求y=y(x)到x轴的最大距离。

admin2021-01-25 26

问题设y=y(x)(x＞0)是微分方程2y"+y’-y=(4-6x)e^-x的一个解，且

求y(x),并求y=y(x)到x轴的最大距离。

选项

答案2y"+y’-y=(4-6x)e^-x的特征方程为2λ²+λ-1=0 特征值为λ₁=-1,λ₂=[*] 则2y"+y’-y=0的通解为y=C₁e^-x+C₂[*] 令2y”+y’-y=(4-6x)e^-x的特解为y₀=(ax²+bx)e^-x,代入得a=1,b=0 原方程通解为[*] 由[*]得y(0)=0,y’（0）=0，代入通解C₁=C₂=0,故y=x²e^-x 由y’=(2x-x²)e^-x=0得x=2(x＞0) 当x∈(0,2)时，y’＞0, 当x＞2时，y’＜0，则x=2为f(x）的最大值点故最大距离d_max=4e^-2

解析

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