设曲线L过点(1，1)，L上任意一点P(χ，y)处的切线交χ轴于点T，O为坐标原点，若{PT}＝｜OT｜。试求曲线L的方程。

admin2019-07-24 82

问题设曲线L过点(1，1)，L上任意一点P(χ，y)处的切线交χ轴于点T，O为坐标原点，若{PT}＝｜OT｜。试求曲线L的方程。

选项

答案设曲线方程为y＝y(χ)，则y(1)＝1，过点P(χ，y)处的切线方程为 Y－y＝y′(X－χ)，则切线与χ轴的交点为T(χ－[*]，0)。根据｜PT｜＝｜OT｜，有 [*] 上式两边同时平方，整理可得y′(χ²－y²)＝2χy，该一阶微分方程为齐次方程，令u＝[*]，可得[*]，两边取积分得 [*] 解得u＋[*]，将初始条件y(1)＝1代入，可得C＝[*]，故曲线L的方程为χ²－y²－2y＝0。

解析

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考研数学一

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