在椭圆=1的第一象限部分上求一点P，使该点处的切线，椭圆及两坐标轴所围图形的面积为最小．

admin2016-10-26 70

问题在椭圆

=1的第一象限部分上求一点P，使该点处的切线，椭圆及两坐标轴所围图形的面积为最小．

选项

答案过椭圆上任意点(x₀，y₀)的切线的斜率y′(x₀)满足 [*] 切线方程为y－y₀=[*](x－x₀)．分别令y=0与x=0，得x，y轴上的截距：[*] 于是该切线与椭圆及两坐标轴所围图形的面积(图4．9)为 [*] S(x₀)=[*]πab．问题是求：S(x)=[*]πab(0＜x＜a)的最小值点，其中y=[*]，将其代入S(x)中，问题可进一步化为求函数f(x)=x²(a²－x²)在闭区间[0，a]上的最大值点．由f′(x)=2x(a²－2x²)=0(x∈(0，a))得a²－2x²=0，x=x₀=[*]a．注意f(0)=f(a)=0，f(x₀)＞0，故x₀=[*]是f(x)在[0，a]的最大值点．因此P([*])为所求的点．

解析

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考研数学一

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