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  3. 设当｜x｜＜1时展开成收敛于它自身的幂级数f(x)＝，则关于它的系数an(n＝0，1，2，…)成立的关系式为 ( )

设当｜x｜＜1时展开成收敛于它自身的幂级数f(x)＝，则关于它的系数an(n＝0，1，2，…)成立的关系式为 ( )

admin2019-07-01  71
问题 设当｜x｜＜1时展开成收敛于它自身的幂级数f(x)＝，则关于它的系数an(n＝0，1，2，…)成立的关系式为    (    )
选项 A、an＋2＝an＋1＋an．
B、an－3＝an．
C、an＋4＝an＋2＋an．
D、an－6＝an．
答案D
解析 由，得f(0)＝1，再由
f(x)(x2－x＋1)＝x＋1，(*)
两边对x求一阶导数，得  f＇(x)(x2－x＋1)＋f(x)(2x－1)＝1，
将x＝0代入，得    f＇(0)－f(0)＝1，f＇(0)＝f(0)＋1＝2．
在(*)式两边对x求n阶导数，n≥2，有
f(n)(x)(x2－x＋1)＋Cn1f(n－1)(x)(2x－1)＋Cn2f(n－2)(x)?2＝0，
将x＝0代入，得   f(n)(0)－Cn1f(n-1)(0)＋2Cn2f(n－2)(0)＝0，
即    f(n)(0)＝nf(n－1)(0)－n(n－1)f(n－2)(0)，n＝2，3，…．

或写成  an＋2＝an＋1－an，n＝0，1，2，…．(**)
现在验算(A)，(B)，(C)，(D)中哪一个正确．
显然，由递推公式(**)知，(A)的左边an＋2＝an＋1－an，仅当an＝0时才有(A)的左边等于(A)的右边，故(A)不正确．
再验算(B)，(B)的左边
an＋3＝an＋2－an＋1＝aa＋1－an－an＋1＝－an，
所以仅当an＝0时(B)的左边等于(B)的右边，故(B)不正确．
再验算(C)，(C)的左边
an＋4＝an＋3－an＋2＝an＋2－an＋1－an＋2＝－an＋1．
(C)的右边   an＋2＋an＝an＋1－an＋an＝an＋1．
(C)的左边等于(C)的右边，得an＋1＝0，n＝0，1，2，…．但这不正确，所以(C)也不正确．
余下只有(D)．
以下也可直接验算(D)正确．由已证(**)式，所以对一切n，有
an＋6＝an＋5－an＋4＝an＋4－an＋3－an＋4＝－an＋3，
从而    an＋6＝－an＋3＝－(－an)＝an，n＝0，1，2，…．
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