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  3. 设A为n阶方阵，A*为A的伴随矩阵，且A11≠0，证明：方程组Ax=b(b≠0)有无穷多解的充要条件中b为A*x=0的解．

设A为n阶方阵，A*为A的伴随矩阵，且A11≠0，证明：方程组Ax=b(b≠0)有无穷多解的充要条件中b为A*x=0的解．

admin2013-09-15  105
问题 设A为n阶方阵，A*为A的伴随矩阵，且A11≠0，证明：方程组Ax=b(b≠0)有无穷多解的充要条件中b为A*x=0的解．
选项
答案必要性：Ax=b有无穷多解，∴r(A)＜n，即｜A｜=0， 有A*b=A*Ax=｜A｜x=0，即b是A*x=0的解． 充分性：∵b为A*x=0的解，即A*x=0有非零解． ∴r(A*)＜n．又A11≠0，∴r(A*)=1，r(A)=n-1． 同时由A*A=｜A｜E=0，A*b=0，令A=(a1，a2，…，an)，则a1，a2，…，an是A*x=0的解， ∵A11≠0，a1，a2，…，an线性无关，∴a2，a3，…，an是方程组A*x=0的基础解系，b可由a2，a3，…，an线性表示，即b可由a1，a2，a2，…，an线性表示， ∵Ax=b有解，又r(A)=n-1，∴Ax=b有无穷多解．
解析
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考研数学二

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