2. 考研
  3. (00年)设函数f(χ)在[0，π]上连续，且∫0πf(χ)dχ＝0，∫0πf(χ)cosχdχ＝0．试证明：在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使f(ξ1)＝f(ξ2)＝0．

(00年)设函数f(χ)在[0，π]上连续，且∫0πf(χ)dχ＝0，∫0πf(χ)cosχdχ＝0．试证明：在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使f(ξ1)＝f(ξ2)＝0．

admin2021-01-25  161
问题 (00年)设函数f(χ)在[0，π]上连续，且∫0πf(χ)dχ＝0，∫0πf(χ)cosχdχ＝0．试证明：在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使f(ξ1)＝f(ξ2)＝0．
选项
答案令F(χ)＝∫f(t)dt，0≤χ≤π 则有F(0)＝0，F(π)＝0，又因为 0＝∫0πf(χ)cosχdχ＝∫0πcosχdF(χ)＝F(χ)cosχ｜0π＋∫0πF(χ)sinχdχ＝∫0πF(χ)sinχdχ 所以存在ξ∈(0，π)，使F(ξ)sinξ＝0，因若不然，则在(0，π)内或F(χ)sinχ恒为正，或F(χ)sinχ恒为负，均与∫0πF(χ)sinχdχ＝0矛盾．但当ξ∈(0，π)时，sinξ≠0，故F(ξ)＝0． 由以上证得F(0)＝F(ξ)＝F(π)＝0 (0＜ξ＜π) 再对F(χ)在区间[0，ξ，[ξ，π]上分别用罗尔中值定理知至少存在ξ1∈(0，ξ)，ξ2∈(ξ，π)，使 F′(ξ1)＝F′(ξ2)＝0， 即f(ξ1)＝f(ξ2)＝0．
解析
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考研数学三

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