[2003年] 设n维向量α=[a，0，…，0，a]T，a＜0，E为n阶单位矩阵，矩阵 A=E－ααT，B=E+(1／a)ααT，其中A的逆矩阵为B，则a=____________．

admin2019-04-28 88

问题 [2003年] 设n维向量α=[a，0，…，0，a]^T，a＜0，E为n阶单位矩阵，矩阵
A=E－αα^T，B=E+(1／a)αα^T，
其中A的逆矩阵为B，则a=____________．

选项

答案－1

解析解一  由题设有A^－1=B，故AB=E，注意到α^Tα=2a²(是一个数)，有
   E=AB－(E－αα^T)[E+(1／a)αα^T]=E+(1／a)αα^T－αα^T－(1／a)α(α^Tα)α^T
   =E+[1／a－1－(1／a)·2a²]αα^T=E+(1／a－1－2a)αα^T，
故(1／a－1－2a)αα^T=O．因αα^T≠O，所以1／a－1－2a=0，即(2a－1)(a+1)=0．因而a=1／2或a=－1．因a＜0，故a=－1．
解二因(E－A)²=(αα^T)²=αα^Tαα^T=(α^Tα)αα^T=2a²αα^T=2a²(E－A)，
即 A²－2A+2a²A=2a²E－E，  亦即  A[A－(2－2a²)E]=(2a²－1)E，
故A可逆，且

由题设有

故

整理得到

而αα^T≠O，故(a+1)(2a－1)=0，又因a＜0，故a=-1．

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考研数学三

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