已知f(x)在(-∞，+∞)内连续，且对任意x有f(x)=f(x2)，f(1)=a，试求f(x)．

admin2022-06-04 105

问题已知f(x)在(-∞，+∞)内连续，且对任意x有f(x)=f(x²)，f(1)=a，试求f(x)．

选项

答案由f(-x)=f[(-x)²]=f(x²)=f(x)可知f(x)为偶函数，因此只需考虑x≥0．设x＞0，于是f(x)=f(x^1/2)=f(x^1/4)=…=f(x^1/2n)，f(x)在(-∞，+∞)内连续，有 [*] 故x＞0时，有f(x)=a．又由f(x)的连续性，则 [*] 再由偶函数的性质知，f(x)=a，x∈(-∞，+∞)．

解析

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考研数学二

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