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设二次型f(x1，x2，x3)＝2x12+2x22+2x32+2ax1x2+2ax2x3+2ax1x3，若a是使A正定的正整数，用正交变换把二次型f(x1，x2，x3)化为标准型，并写出所用正交变换。
设二次型f(x1，x2，x3)＝2x12+2x22+2x32+2ax1x2+2ax2x3+2ax1x3，若a是使A正定的正整数，用正交变换把二次型f(x1，x2，x3)化为标准型，并写出所用正交变换。
admin
2019-12-06
127
问题
设二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)＝2x
1
2
+2x
2
2
+2x
3
2
+2ax
1
x
2
+2ax
2
x
3
+2ax
1
x
3
，若a是使A正定的正整数，用正交变换把二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)化为标准型，并写出所用正交变换。
选项
答案
求二次型矩阵的特征值，有 [*] ＝(λ＋a－2)
2
(λ－2a－2)＝0， 得到A的特征值是λ
1
＝λ
2
＝2－a，λ
3
＝2a＋2，由于A正定，且a为正整数，故a＝1。因此[*]， 此时矩阵的特征值为λ
1
＝λ
2
＝1，λ
3
＝4。 对于λ＝1，由E－A＝[*]， 得到属于λ＝1的特征向量为α
1
＝(﹣1，1，0)
T
，α
2
＝(﹣1，0，1)
T
。 对于λ＝4，由4E－A＝[*]， 得到属于λ＝4的特征向量为α
3
＝(1，1，1)
T
。 对α
1
，α
2
正交规范化得β
1
＝α
1
＝[*]， β
2
＝[*]， 故可得到 [*]， 令Q＝(γ
1
，γ
2
，γ
3
)＝[*]， 则在正交变换x＝Qy，下有 x
T
Ax＝y
T
Ay＝y
1
2
＋y
2
2
＋4y
3
2
。
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/zTA4777K
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考研数学二
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