2. 考研
  3. (2002年)设向量组α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量β2不能由α1，α2，α3线性表示，则对于任意常数k，必有

(2002年)设向量组α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量β2不能由α1，α2，α3线性表示，则对于任意常数k，必有

admin2021-01-19  88
问题 (2002年)设向量组α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量β2不能由α1，α2，α3线性表示，则对于任意常数k，必有
选项 A、α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关．
B、α1，α2，α3，kβ1+β2线性相关．
C、α1，α2，α3，β1+kβ2线性无关．
D、α1，α2，α3，β1+kβ2线性相关．
答案A
解析 由已知，存在常数l1，l1，l3，使得
β1=l1α1+l2α2+l3α3    (*)
如果kβ1+β2可由α1，α2，α3线性表示，则
存在常数m1，m2，m3，使得
kβ1+β2=m1α1+m2α2+m3α3    (**)
将(*)式代入(**)式，可得
β1=(m1-kl1)α1+(m1-kl1)α2+(m3-kl3)α3
即β2可由α1，α2，α3线性表示，这与已知条件矛盾，故kβ1+β2必不能由α1，α2，α3线性表示．再根据结论(可证明或引用定理)：“若α1，α2，α3线性无关，则向量β不能由α1，α2，α3线性表示α1，α2，α3，β线性无关”，便可推知α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关，因此，选项(A)正确．
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考研数学二

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