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设f(x)=ex-∫0x(x-t)f(t)dt,其中f(x)二阶可导,求f(x).
设f(x)=ex-∫0x(x-t)f(t)dt,其中f(x)二阶可导,求f(x).
admin
2022-11-02
55
问题
设f(x)=e
x
-∫
0
x
(x-t)f(t)dt,其中f(x)二阶可导,求f(x).
选项
答案
由f(x)=e
x
-∫
0
x
(x-t)f(t)dt,得f(x)=e
x
-x∫
0
x
f(t)dt+∫
0
x
tf(t)dt,两边对x求导,得f’(x)=e
2
-∫
0
x
f(t)dt,两边再对x求导得f"(x)+f(x)=e
x
,其通解为f(x)=C
1
cosx+C
2
sinx+1/2e
x
.在f(x)=e
x
-∫
0
x
(x-t)f(t)dt中,令x=0得f(0)=1,在f’(x)=e
x
-∫
0
x
f(t)dt中,令得f’(0)=1,于是有C
1
=1/2,C
2
=1/2,故f(x)=1/2(cosx+sinx)+1/2e
x
.
解析
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考研数学三
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