设f(x)是以ω为周期的连续函数，证明：一阶线性微分方程 y’+ky=f(x) 存在唯一的以ω为周期的特解，并求此特解，其中k为常数．

admin2017-10-23 110

问题设f(x)是以ω为周期的连续函数，证明：一阶线性微分方程
y’+ky=f(x)
存在唯一的以ω为周期的特解，并求此特解，其中k为常数．

选项

答案由于此线性微分方程的通解可表示为y(x)=e^—kx[C+∫₀^xf(t)e^ktdt]，而为了使其以ω为周期，就应该对任何x满足恒等式 y(x+ω)=e^—kx—kω[C+∫₀^x+ωf(t)e^ktdt]=y(x)，即 C+∫₀^xf(t)e^ktdt=e^—kω[C+∫₀^x+ωf(t)e^ktdt]．上式可改写为 e^kω[C+∫₀^xf(t)e^ktdt]=C+∫₀^x+ωf(t)e^ktdt． (*) 又因 ∫₀^x+ωf(t)e^ktdt=∫₀^ωf(t)e^ktdt+∫_ω^x+ωf(t)e^ktdt，利用f(x)以ω为周期又可得 ∫_ω^x+ωf(t)e^ktdt[*]∫₀^xf(s+ω)e^k(s+ω)=e^kω∫₀^xf(s)e^ks=e^kω∫₀^xf(t)^ktdt，故(*)又可写成 e^kω[C+∫₀^xf(t)e^ktdt]=C+∫₀^ωf(t)e^ktdt+e^kω∫₀^xf(t)e^ktdt．即 e^kωC=C+∫₀^ωf(t)e^ktdt．若令C=[*]∫₀^ωf(t)e^ktdt，则此特解就是以ω为周期的函数，由于这样的常数只有一个，所以周期解也只有一个．

解析本题是求该方程满足某种要求的特解．为此，我们先求通解，然后用确定常数C的办法来得到具有周期性的那个特解．

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考研数学三

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设f(x)是以ω为周期的连续函数，证明：一阶线性微分方程 y’+ky=f(x) 存在唯一的以ω为周期的特解，并求此特解，其中k为常数．

考研数学三

求微分方程xy"+3y’=0的通解．

设f(x)在[a，b]上连续，证明：∫abf(x)dx=∫abf(a+b—x)dx．

求∫013x。arcsinxdx．

设随机变量X～E(λ)，令Y=，求P(X+Y=0)及FY(y)．

微分方程y’一xe-y+=0的通解为________．

设总体X～N(0，σ2)，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，所服从的分布．

设总体X～N(μ，σ2)，X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本，S2=，则D(S2)=________．

设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内大于零，并且满足xf’(x)=f(x)+(a为常数)，又曲线y=f(x)与x=1，y=0所围的图形S的面积为2．求函数y=f(x)，并问a为何值时，图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小．

已知二维随机变量(X，Y)的概率密度为(I)试求(X，Y)的边缘概率密度fX(x),fY(y)，并问X与Y是否独立；(Ⅱ)令Z=X一Y，求Z的分布函数FZ(z)与概率密度fZ(z)．

设f（t）连续并满足f（t）=cos2t+f（s）sinsds，求f（t）。

不可能造成铸造支架式义齿就位困难的是

某患者，一上前牙牙冠大部缺损，做桩冠修复时，根管制备的长度应达根长的A．1/5～2/5B．3/5～4/5C．1/4～1/2D．1/3E．2/3～3/4

海关查验一批贵重的精密仪器，交给发货人或其代理人后，有关发货人或其代理人未提出异议。以后确切证实是海关损坏的，海关负赔偿责任。()

根据公司法律制度的规定，有限责任公司股东会作出的下列决议中，必须经代表2/3以上表决权的股东通过的有(　　　)。

在送散客赴机场或火车站途中导游人员应做的主要工作有()。

假定欧元区某国外汇市场的即期汇率为：1欧元=1．3500-1．3520美元，6个月远期：50-70。请问：[中山大学2014研]美元6个月远期的汇率是多少?

设散列函数为H(key)=key%ll,对于关键碍序列(23,40,91,17,19,10,31,65,26),用线件探查法解决冲突构造的哈希表为()。

下列管理信息系统建设环境分析的描述中，不正确的是()。

将考生文件夹下ZOOM文件夹中的文件MACRO．OLD设置成隐藏属性。

Whatkindsofpeopleoftengivedrugstotheirchildren?Whereintheworlddopeopletakedrugbeforegoingtowork?Theanswer

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