2. 公务员
  3. 已知函数f(x)=其中a是实数，设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))为该函数图象上的两点，且x1＜x2． 若函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．

已知函数f(x)=其中a是实数，设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))为该函数图象上的两点，且x1＜x2． 若函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．

admin2019-06-01  65
问题 已知函数f(x)=其中a是实数，设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))为该函数图象上的两点，且x1＜x2．
若函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．
选项
答案当x1＜x2＜0或x2＞x1＞0时，f＇(x1)≠f＇(x2)，故x1＜0＜x2． 当x1＜0时，函数f(x)的图象在点(x1，f(x1))处的切线方程为y－(x12+2x1+a)=(2x1+2)(x—x1)，即y=(2x1+2)x—x12+a．当x2＞0时，函数f(x)的图象在点(x2，f(x2))处的切线方程为y－ln x2=[*](x—x2)，即y=[*]·x+ln x2－1．两切线重合的充要条件是[*]由①及x1＜0＜x2知，0＜[*]＜2．由①②得，a=ln x2+[*]. 令t=[*]，则0＜t＜2，且a=[*]t2－t－ln t，设h(t)=[*]t2－t－lnt(0＜t＜2)，则h＇(t)=[*]＜0．所以h(t)(0＜t＜2)为减函数，则h(t)＞h(2)=－ln 2—1，所以a＞－ln 2—1．而当t∈(0，2)且 t趋近于0时，h(t)无限增大．所以a的取值范围是(－ln 2—1，+∞)．故当函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合时，a的取值范围是(－ln 2—1，+∞)．
解析
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