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  3. [2008年] (I)证明积分中值定理：若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，则至少存在一点η∈[a，b]，使得f(x)dx=f(η)(b一a)． (Ⅱ)若函数φ(x)具有二阶导数，且满足φ(2)＞φ(1)，φ(2)＞∫23φ(x)dx，则至少存在一点

[2008年] (I)证明积分中值定理：若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，则至少存在一点η∈[a，b]，使得f(x)dx=f(η)(b一a)． (Ⅱ)若函数φ(x)具有二阶导数，且满足φ(2)＞φ(1)，φ(2)＞∫23φ(x)dx，则至少存在一点

admin2019-04-05  127
问题 [2008年]  (I)证明积分中值定理：若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，则至少存在一点η∈[a，b]，使得f(x)dx=f(η)(b一a)．
(Ⅱ)若函数φ(x)具有二阶导数，且满足φ(2)＞φ(1)，φ(2)＞∫23φ(x)dx，则至少存在一点ξ∈(1，3)，使得φ″(ξ)＜0．
选项
答案利用介值定理证明(I)，利用积分中值定理和拉格朗日中值定理证明(Ⅱ)． 证 (I)设M和m分别为函数f(x)在区间[a，b]上的最大值及最小值，则 m(b一a)≤∫abf(x)dx≤M(b－a)． 在以上不等式两边各除以b一a，得到 m≤[*]∫abf(x)dx≤M． 这表明确定的数[*]∫abf(x)dx介于函数f(x)的最小值m及最大值M之间．由闭区间上连续函数的介值定理知，在[a，b]上至少存在一点η，使得函数f(x)在点η处的值与这个确定的数值相等，即应有 [*]∫abf(x)dx=f(η) (a≤η≤b)． 两端各乘以b－a，即得所要证的等式． (Ⅱ)由(I)的结论知，至少存在一点η∈[2，3]，使 ∫232φ(x)dx=φ(η)(3－2)=φ(η)，2≤η≤3. 又由φ(2)＞∫23φ(x)dx=φ(η)，φ(2)＞φ(1)知，对φ(x)分别在[1，2]及[2，η]上使用拉格朗日中值定理，得到 φ′(ξ1)=[*]＞0， 1＜ξ1＜2， φ′(ξ2)=[*]＜0， 2＜ξ2＜η≤3． 在[ξ1，ξ2]上对导函数φ′(x)使用拉格朗日中值定理，得到 φ″(ξ)=[*]＜0， ξ∈(ξ1，ξ2)[*](1，3)．
解析
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考研数学二

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