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  3. 设A是m阶正定矩阵，B是m×n实矩阵，证明：BTAB正定r(B)=n．

设A是m阶正定矩阵，B是m×n实矩阵，证明：BTAB正定r(B)=n．

admin2017-06-08  75
问题 设A是m阶正定矩阵，B是m×n实矩阵，证明：BTAB正定<=>r(B)=n．
选项
答案“=>”BTAB是n阶正定矩阵，则r(BTAB)=n，从而r(B)=n． “<=”显然BTAB是实矩阵，并且(BTAB)T=BTAT(BT)T=BTAB，因此，BTAB是实对称矩阵．因为r(B)=n，所以齐次线性方程组BX=0只有零解，即若X是n维非零实列向量，则BX≠0．再由A的正定性，得到XT(BTAB)X=(BX)TA(BX)＞0．由定义知，BTAB正定．
解析
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考研数学二

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