2. 考研
  3. 设f(χ)在[0，1]连续，在(0，1)可导，f(0)＝0，0＜f′(χ)＜1(χ∈(0，1))，求证：[∫01f(χ)dχ]2＞∫01f3(χ)dχ．

设f(χ)在[0，1]连续，在(0，1)可导，f(0)＝0，0＜f′(χ)＜1(χ∈(0，1))，求证：[∫01f(χ)dχ]2＞∫01f3(χ)dχ．

admin2016-10-21  68
问题 设f(χ)在[0，1]连续，在(0，1)可导，f(0)＝0，0＜f′(χ)＜1(χ∈(0，1))，求证：[∫01f(χ)dχ]2＞∫01f3(χ)dχ．
选项
答案即证[∫01f(χ)dχ]2＞∫01f3(χ)dχ＞0．考察F(χ)＝[∫0χf(t)dt]2－∫0χf3(t)dt， 若能证明F(χ)＞0(χ∈(0，1])即可．这可用单调性方法． 令F(χ)＝[∫0χf(t)dt]2－∫0χf3(t)dt，易知F(χ)在[0，1]可导，且 F(0)＝0，F′(χ)＝f(χ)[2∫0χf(t)dt－f2(χ)]． 由条件知，f(χ)在[0，1]单调上升，f(χ)＞f(0)＝0(χ∈(0，1])，从而F′(χ)与g(χ)＝2∫0χf(t)dt－f2(χ)同号．再考察 g′(χ)＝2f(χ)[1－f′(χ)]＞0(χ∈(0，1))， g(χ)在[0，1]连续，于是g(χ)在[0，1]单调上升，g(χ)＞g(0)＝0(χ∈(0，1])，也就有F′(χ)＞0(χ ∈(0，1])，即F(χ)在[0，1]单调上升，F(χ)＞F(0)＝0(χ∈(0，1])．因此 F(1)＝[∫0χf(χ)dχ]2－∫01f3(χ)dχ＞0． 即结论成立．
解析
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考研数学二

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