设f(x)在[a，b]上连续可导，证明：｜f(x)｜≤｜∫abf(x)dx｜＋∫ab｜f’(x)｜dx．

admin2018-01-23 51

问题设f(x)在[a，b]上连续可导，证明：

｜f(x)｜≤｜

∫_a^bf(x)dx｜＋∫_a^b｜f’(x)｜dx．

选项

答案因为f(x)在[a，b]上连续，所以｜f(x)｜在[a，b]上连续，令｜f(c)｜＝[*]｜f(x)｜．根据积分中值定理，[*]f(x)dx＝f(ξ)，其中ξ∈[a，b]．由积分基本定理，f(c)＝f(ξ)＋∫_ξ^cf’(x)dx，取绝对值得｜f(c)｜≤｜f(ξ)｜＋｜∫_ξ^c)f’(x)dx｜≤｜f(ξ)＋∫_a^b｜f’(x)｜dx，即 [*]∫_a^bf(x)dx｜＋∫_a^b｜f’(x)｜dx．

解析

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