设随机变量X的概率密度为f(χ)，已知D(X)＝1，而随机变量Y的概率密度为f(－y)，且ρXY＝－，记Z＝X＋Y，求E(Z)，D(Z)．

admin2018-11-23 61

问题设随机变量X的概率密度为f(χ)，已知D(X)＝1，而随机变量Y的概率密度为f(－y)，且ρ_XY＝－

，记Z＝X＋Y，求E(Z)，D(Z)．

选项

答案E(Z)＝E(X＋Y)＝E(X)＋E(Y)＝∫_－∞^＋∞χ(χ)dχ＋∫_－∞^＋∞yf(－y)dy．令y＝－χ，则∫_－∞^＋∞yf(－y)dy＝∫_＋∞^－∞(－χ)f(χ)d(－χ)＝∫_－∞^＋∞χf(χ)dχ．所以E(Z)＝0．又D(Y)＝E(Y²)－[E(Y)]²＝E(Y²)－[－E(X)]²，而E(Y²)＝∫_－∞^＋∞y²f(－y)dy＝∫_＋∞^－∞(－y)dy＝∫(－χ)²(χ)d(－χ)＝∫_－∞^＋∞χ²f(χ)dχ＝E(X²)，所以D(Y)＝E(Y²)－[－E(X)]²＝E(X²)－[E(X)]²＝D(X)＝1．于是D(Z)＝D(X＋Y)＝D(X)＋D(Y)＋2Cov(X，Y) ＝D(X)＋D(Y)＋2[*].ρ_XY ＝1＋1＋[*]

解析

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考研数学一

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