若方程x3+3x2一24x+4a=0恰有三个实根，则a的范围是_______．

admin2020-09-23 33

问题若方程x³+3x²一24x+4a=0恰有三个实根，则a的范围是_______．

选项

答案一20＜a＜7

解析令f(x)=x³+3x²一24x+4a，则
f’(x)=3x²+6x一24=3(x+4)(x一2)， f”(x)=6x+6．
令f’(x)=0，得x₁=一4，x₂=2，因为f"(一4)=一18＜0，f”(2)=18＞0，所以x₁=一4是f(x)的极大值点，且f_极大(一4)=80+4a；x₂=2是f(x)的极小值点，且f_极小(2)=一28+4a．
又

且方程恰有三个实根(函数f(x)有三个零点)，所以80+4a＞0，一28+4a＜0，解得一20＜a＜7．

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